【Python】図形の重心の求め方！凹多角形・凸多角形に対応！

解法を忘れてしまったり、そもそもどう解けばいいかわからない…という方が多いのではないでしょうか。

記事を読めば、この問題の対処法を学べます。

図形の重心を求める方法

始めに冒頭の問題の答えを示します。

すずか

まあ$x$軸上だよね〜。

求め方知らんけど。

先生

丁寧に解説しますね。

手順は簡単。$4$ステップで求められます。

図形を複数の三角形に分ける

重心を求めたい図形をバラバラにして、三角形を作り出します。

基準点から左回り(反時計回り)に点を結んで三角形を作るのがポイントです。

基準点はどこでも構いません。

すずか

ちょっとよくわかんないわ〜。

先生

$2$つの場合で解説しましょう。

図形内を三角形で分ける場合

点$O$から反時計回りに順に頂点を結び、三角形を作ります。

$O \rightarrow B \rightarrow C$と辿り、$\triangle{OBC}$ができます。

$O \rightarrow C \rightarrow D$と辿り、$\triangle{OCD}$ができます。

$O \rightarrow D \rightarrow A$と辿り、$\triangle{ODA}$ができます。

図形外に三角形ができる場合

点$A$から反時計回りに順に頂点を結び、三角形を作ります。

$A \rightarrow O \rightarrow B$と辿り、$\triangle{AOB}$ができます。

すずか

$\triangle{AOB}$って図形の外じゃん！

先生

反時計回りに頂点を繋いでいるのであれば、全く問題ありません。

最初は戸惑うかも知れません。

ですが、最後は点$O$が基準点の場合と同様の結果となるのでご安心ください。

$A \rightarrow B \rightarrow C$と辿り、$\triangle{ABC}$ができます。

$A \rightarrow C \rightarrow D$と辿り、$\triangle{ACD}$ができます。

各三角形の面積を求める

分割された各三角形の面積を求めます。

三角形の頂点から面積を求めるには、次の公式を利用します。

ですが、重心を求めるには符号付き($+$ or $-$)の面積を利用します。

すずか

面積がマイナスってどゆこと？

例えば、頂点を$A \rightarrow B \rightarrow C$の順に辿る場合。

面積は、経路が反時計回りなら正とし、時計回りなら負とします。

経路がどちら回りかは、外積$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$の$z$成分の符号で判定します。

先程と同様、次の$2$つの場合で面積の求め方を見ていきましょう。

面積がすべて正の場合

$\triangle{OBC}$・$\triangle{OCD}$・$\triangle{ODA}$の面積を求めます。

どの三角形も経路が反時計回りなので、面積が正ですね。

冗長になるため、$\triangle{OBC}$の場合の計算手順だけをお載せします。

下記の公式を利用して、外積を求めます。

他の三角形の面積も同じ手順で求められます。

つまり、残った板の面積は$3ab$です。

面積が負になる場合

$\triangle{AOB}$・$\triangle{ABC}$・$\triangle{ACD}$の面積を求めます。

$\triangle{AOB}$は経路が時計回りなので、その面積を負として扱います。

せっかくなので$\triangle{AOB}$の面積だけ一緒に求めましょう。

他の三角形は経路が反時計回りなので、先程と同様に計算できます。

すずか

マイナスの面積で本当にいいの？

先生

はい。むしろ負の面積があるので、辻褄が合うんですよ。

残りの板の面積は$3ab$でしたね。

試しに$\triangle{AOB}$・$\triangle{ABC}$・$\triangle{ACD}$の面積を全部足してみましょう。

$3ab$ピッタリです。

$\triangle{ABC}$の余分な面積を、$\triangle{AOB}$の負の面積で相殺したんですね。

すずか

へーよくできてるね。

各三角形の重心を求める

分割した各三角形の重心を求めます。

三角形の各頂点の座標から、その重心座標を求める公式です。

頂点の座標さえ分かれば、重心は機械的に計算できます。

$3$つの座標の平均なのですから。

基準点が$O$の場合。

基準点が$A$の場合。

各三角形の質量を求める

板の密度を$\rho$・厚みを$h$として、各三角形の質量を計算します。

質量 $=$ 密度 $\cdot$ 体積であり、
体積 $=$ 面積 $\cdot$ 厚みです。

よって、質量 $=$ 密度 $\cdot$ 面積 $\cdot$ 厚みです。

質量がすべて正の場合

$\triangle{OBC}$・$\triangle{OCD}$・$\triangle{ODA}$の質量を求めます。

質量 $=$ 密度 $\cdot$ 面積 $\cdot$ 厚み
この式にパラメータを代入します。

どの三角形にも同じ強さの重力が働くイメージです。

質量が負になる場合

$\triangle{AOB}$・$\triangle{ABC}$・$\triangle{ACD}$の質量を求めます。

質量 $=$ 密度 $\cdot$ 面積 $\cdot$ 厚み
この式にパラメータを代入します。

すずか

負の質量っておかしくない？

先生

現実にはありえませんが、計算上では全く問題ありません。

$\triangle{AOB}$だけ上向きに重力がかかる感じです。

図形全体の重心を求める

準備が整ったので、全体の重心を求めます。

重心を求める公式を利用します。

最後も$2$つの場合に分けて説明します。

質点に下向きの力がかかる場合

各三角形の重心の位置に、質点が存在すると考えます。

では、全体の重心$x_G, y_G$を計算しましょう。

質点に上向きの力がかかる場合

負の質量がありますが、構いません。

$O$が基準点の時と同様の手順です。

では、全体の重心$x_G, y_G$を計算しましょう。

すずか

点$O$が基準のときと一緒だね！

図形の重心を求めるプログラム

実装例

各三角形の座標を求める

def triangulate(coords):
    # 座標のリストを平坦化
    coords = flatten(coords)

    # 座標の数を計算
    coord_len = len(coords) // 2

    # 三角形の数を計算
    triangle_num = coord_len - 2

    # 三角形の座標を格納する空のリストを初期化
    result = []

    # 三角形の座標を作成するための繰り返し処理
    for i in range(triangle_num):
        j = (i + 1) * 2

        # 各三角形の座標を抽出
        triangle_coords = [
            [coords[0], coords[1]],
            [coords[j + 0], coords[j + 1],
            [coords[j + 2], coords[j + 3],
        ]
        result.append(triangle_coords)

    # 三角形の座標のリストを返却
    return result
 

def flatten(sequence):
    result = []

    for item in sequence:
        if isinstance(item, (list, tuple, range, dict, set, frozenset)):
            result.extend(flatten(item))
        else:
            result.append(item)

    return result

triangulate関数は、三角形の座標を生成します。

coords_a = [x1, y1, x2, y2, …, xn, yn]  # 一次元リスト
coords_b = (x1, y1, x2, y2, …, xn, yn)  # 一次元タプル
coords_c = [[x1, y1], [x2, y2], …, [xn, yn]]  # ネストされたリスト(タプル)

triangulate(coords_◯)  # OK

coords = [x1, y1, x2, y2, …, xn, yn]
result = triangulate(coords)

print(result)
# [[[x1, y1], [x2, y2], [x3, y3]], [[x1, y1], [x3, y3], [x4, y4]], …, [[x1, y1], [xn-1, yn-1], [xn, yn]]]

import numpy as np


print(np.array(result))
# [[[x1 y1]
#   [x2 y2]
#   [x3 y3]]
#
#  [[x1 y1]
#   [x3 y3]
#   [x4 y4]]
#
#  [[x1 y1]
#   [x4 y4]
#   [x5 y5]]
#
#   　 …
#
#  [[x1 y1]
#   [xn-1 yn-1]
#   [xn yn]]]

リスト・タプルを平坦化するflatten関数は、下記をご参照ください。

【Python】リストの平坦化(flatten)処理を徹底解説！

三角形の面積を求める

import numpy as np


def get_triangle_area(point_a, point_b, point_c):
    # ベクトル演算を行うため、点をNumPy配列に変換
    point_a = np.array(point_a)
    point_b = np.array(point_b)
    point_c = np.array(point_c)

    # ベクトルABおよびACを計算
    vector_ab = point_b - point_a
    vector_ac = point_c - point_a

    # ベクトルABおよびACの外積を計算
    cross_product = np.cross(vector_ab, vector_ac)

    # 外積がz成分のみの場合、符号付き面積を利用
    if cross_product.size == 1:
        parallelogram_area = cross_product

    # 外積が3次元配列の場合、外積の大きさを計算
    else:
        parallelogram_area = np.linalg.norm(cross_product)

    # 三角形の面積(平行四辺形の面積の半分)を返却
    return parallelogram_area / 2

get_triangle_area関数は、三角形の面積を求めます。

三角形の重心を求める

import numpy as np


def get_triangle_centroid(point_a, point_b, point_c):
    # numpy.array型に変換
    point_a = np.array(point_a)
    point_b = np.array(point_b)
    point_c = np.array(point_c)

    # 重心を計算
    centroid = (point_a + point_b + point_c) / 3

    # リストに変換して返す
    return centroid.tolist()

get_triangle_centroid関数は、三角形の重心を求めます。

図形の重心を求める

import numpy as np


def get_centroid(coords):
    # 座標を三角形に分割
    triangles = triangulate(coords)
    
    # 各三角形の重心・符号付き面積を計算
    centroids = np.array([get_triangle_centroid(*triangle) for triangle in triangles])
    signed_areas = np.array([get_triangle_area(*triangle) for triangle in triangles])

    # 図形の総面積を計算
    area = np.sum(signed_areas)

    # 符号付き面積を考慮した重心を計算
    weighted_centroids = centroids * signed_areas[:, None]

    # 図形全体の重心を計算
    x = np.sum(weighted_centroids[:, 0]) / area
    y = np.sum(weighted_centroids[:, 1]) / area

    # 重心の座標を返す
    return [x, y]

get_centroid関数は、引数の座標を頂点とする図形の重心を求めます。

coords_a = [x1, y1, x2, y2, …, xn, yn]  # 一次元リスト
coords_b = (x1, y1, x2, y2, …, xn, yn)  # 一次元タプル
coords_c = [[x1, y1], [x2, y2], …, [xn, yn]]  # ネストされたリスト(タプル)

get_centroid(coords_◯)  # OK

テスト

このプログラムは、頂点さえ分かれば、どんな多角形の重心でも求められます。

その威力を存分に感じてください。

凸多角形の重心

正六角形の重心を取れるか試します。

get_centroid関数の下に、下記のテストコードを書いて実行します。

a = (1, 0)
b = (1/2, np.sqrt(3)/2)
c = (-1/2, np.sqrt(3)/2)
d = (-1, 0)
e = (-1/2, -np.sqrt(3)/2)
f = (1/2, -np.sqrt(3)/2)

coords = (a, b, c, d, e, f)

answer = get_centroid(coords)

print(answer)

実行結果です。

print(answer)
# [0.0, 0.0]

重心は原点ですね。

凹多角形の重心

六芒星の重心を取れるか試します。

get_centroid関数の下に、下記のテストコードを書いて実行します。

a = (1, 0)
b = (np.sqrt(3)/4, 1/4),
c = (1/2, np.sqrt(3)/2),
d = (0, 1/2),
e = (-1/2, np.sqrt(3)/2),
f = (-np.sqrt(3)/4, 1/4),
g = (-1, 0),
h = (-np.sqrt(3)/4, -1/4),
i = (-1/2, -np.sqrt(3)/2),
j = (0, -1/2),
k = (1/2, -np.sqrt(3)/2),
l = (np.sqrt(3)/4, -1/4),

coords = (a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l)

answer = get_centroid(coords)

print(answer)

実行結果です。

print(answer)
# [-9.251858538542972e-18, 0.0]

すずか

やった！バグったね！

先生

嬉しそうですね。

出力結果を確認してみましょう。

[-9.251858538542972e-18, 0.0]の$x$座標ですが、後ろにe-18とありますね。

これは、$e$の左の数字に$1^{-18}$を掛けるのを意味します。

よって、-9.251858538542972e-18 $=$ -0.000000000000000009251858538542972($0$が$18$個)です。

わずかな誤差なので、ほぼ$0$と見て良いのではないでしょうか。

したがって、重心はやはり原点です。

すずか

な〜んだ、つまんないの〜。

図形の重心を求めるプログラムの活用例

図形をマウスドラッグで回転させるプログラムです。

PythonのGUIライブラリであるTkinterで作りました。

複雑そうですが、仕組みはシンプルです。

クリックした瞬間、図形の頂点から重心の座標を計算します。

その重心周りに図形を回転させるだけです。

Tkinterで図形を回転させるプログラムは、下記をご覧ください。

>> 【Tkinter】図形を回転させる！自動で回転・ドラッグで回転

まとめ

今回は、図形の重心を求める方法・プログラムをご紹介しました。

自己交差のない図形であれば、次の手順で重心の位置がわかるのでしたね。

最後までお付き合いいただき、ありがとうございました。