3点の座標から角度と回転方向を求める方法を解説！プログラムで自動化！

この記事の内容

こんにちは、Youta(@youta_blog)です。

今回は、座標平面上の$3$点の座標から角度と回転方向を求めるお話です。

あなたは学生時代、次のような問題を見たことはありますか？

座標平面内に$3$点$A(a,\ b)$, $B(c,\ d)$, $C(e,\ f)$ がある。

ただし、$A\ne B\ne C$とする。

(1) ベクトル$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AC}$のなす角$\theta$を求めよ。

(2) ベクトル$\overrightarrow{AB}$に対して$\overrightarrow{AC}$は時計回りか反時計回りかを判別せよ。

解法を忘れてしまったり、そもそもどう解けばいいかわからない…という方が多いのではないでしょうか。

でもご安心ください！

記事を読めば、この問題の対処法を学べます。

合わせて、コンピュータに自動で解かせるためのプログラムもご紹介します。

3点から角度を求める2つの方法

まずは冒頭の問題の$(1)$の答えを示します。

答え

ベクトルの内積を使うやり方

手順は簡単。たった$5$ステップです。

$1$ステップずつ丁寧に解説しますね。

 ベクトルを作る

$A$を始点、$B$と$C$は終点とします。

このときベクトル$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AC}$ができます。

$A$, $B$, $C$の各座標が分かっているので、ベクトル$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AC}$の成分表示が可能です。

各ベクトルの成分表示は次のようになります。

ベクトル$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AC}$の成分表示

 ベクトルの大きさを求める

ベクトル$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AC}$の大きさを求めます。

成分表示からベクトルの大きさを求めるには、次の公式を利用します。

ベクトル$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AC}$の成分表示を既に求めてあるので、公式に当てはめて計算です。

ベクトル$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AC}$の大きさ

 ベクトルの内積を求める

ベクトル$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AC}$の内積を求めます。

ベクトルの内積を求めるには、$2$通りの方法があります。

$1$の公式に、ベクトル$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AC}$の成分表示を当てはめましょう。

ベクトル$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AC}$の内積

 角度の余弦を求める

$\cos{\theta}$を求めます。

内積の公式$2$より$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}|\cos{\theta}$とも表せました。

これを変形すると$\cos{\theta} = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}|}$ですね。

$\overrightarrow{AB} \ne \overrightarrow{0}$かつ$\overrightarrow{AC} \ne \overrightarrow{0}$より、上記の式変形が許されます。

ベクトル$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AC}$の内積と大きさを代入し、なす角$\theta$の余弦を求めます。

ベクトル$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AC}$のなす角$\theta$の余弦

 逆余弦関数で角度を求める

結論、逆余弦関数を使います。

要は、$\cos{\theta}$が〇〇になる角度$\theta$ってな〜んだ？

この角度$\theta$を求めるのが逆余弦関数です。

ベクトル$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AC}$のなす角$\theta$の余弦は既に求めてあるので、これで$\theta$がわかります。

ベクトル$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AC}$のなす角$\theta$

お疲れ様でした。

以上が、ベクトルの内積を利用して$3$点の座標から角度を導出する流れです。

先ほどの答えと一致していますね。

余弦定理を使うやり方

手順は簡単。たった$5$ステップです。

$1$ステップずつ丁寧に解説しますね。

 三角形を作る

$A$, $B$, $C$を頂点とする三角形を作ります。

 三角形の辺の長さを求める

辺$AB$, $BC$, $CA$の長さを求めます。

座標平面上の$2$点間の距離を求めるには、次の公式を利用します。

よって、各辺の長さが求まります。

$\triangle{ABC}$の各辺の長さ

 三角形に余弦定理を適用する

よって、$\triangle{ABC}$の各辺と$\angle{A}$に関して下記の等式が成り立ちます。

$\triangle{ABC}$の各辺と$\angle{A}$ $(= \theta)$の関係

 角度の余弦を求める

$\cos{\theta}$を求めます。

$\triangle{ABC}$の各辺と$\theta$の関係式を変形すると$\cos{\theta} = \frac{{AB}^2 + {CA}^2 – {BC}^2}{2 \cdot AB \cdot CA}$ですね。

$\triangle{ABC}$の各辺の大きさを代入し、$\angle{A}$$( = \theta)$の余弦を求めます。

$\triangle{ABC}$の$\angle{A}$ $(= \theta)$の余弦

 逆余弦関数で角度を求める

結論、逆余弦関数を使います。

要は、$\cos{\theta}$が〇〇になる角度$\theta$ってな〜んだ？

この角度$\theta$を求めるのが逆余弦関数です。

$\triangle{ABC}$の$\angle{A}$ $(=\theta)$の余弦は既に求めてあるので、これで$\theta$がわかります。

$\triangle{ABC}$の$\angle{A}$ $(= \theta)$

計算が少し大変でしたね。

以上が、余弦定理を利用して$3$点の座標から角度を導出する流れです。

どちらでも同じ答えが出るのは面白いですね！

3点から回転方向を求める方法

お次は冒頭の問題の$(2)$の答えを示します。

答え

結論、ベクトルの外積を利用します。

手順は簡単。たった$3$ステップです。

$1$ステップずつ丁寧に解説しますね。

ベクトルを作る

$A$を始点、$B$と$C$は終点とします。

このときベクトル$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AC}$ができます。

$A$, $B$, $C$の各座標が分かっているので、ベクトル$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AC}$の成分表示が可能です。

各ベクトルの成分表示は次のようになります。

ベクトル$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AC}$の成分表示

何も難しくはありません。

ベクトル$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AC}$は座標平・面・上にあるので、$z$成分は$0$ですよね。

ベクトルの外積を求める

ベクトル$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AC}$の外積を求めます。

ベクトルの外積を求めるには、次の公式を利用します。

ベクトル$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AC}$の成分表示を既に求めてあるので、公式に当てはめるだけです。

ベクトル$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AC}$の外積

外積の$z$成分で回転方向を判別

外積の$z$成分の符号で回転方向がわかります。

回転方向には次の$3$通りがあります。

ベクトル$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AC}$の外積は既に求めてあるため、その$z$成分で回転方向を判別します。

ベクトル$\overrightarrow{AB}$に対する$\overrightarrow{AC}$の回転方向

以上、$3$点から回転方向を求める方法でした。

プログラムを実装

先ほどの理論を踏まえた上で、Pythonでプログラムを書いてみましょう。

実装例は$3$つご用意しました。

ニーズに合わせてお選びください。

角度を求める

import numpy as np


def get_angle(point_a, point_b, reference_point, is_radian=False):
    # 点Aまたは点Bが基準点と同じ場合、角度は0を返す
    if point_a == reference_point or point_b == reference_point:
        return 0

    # ベクトルを計算
    reference_point = np.array(reference_point)
    vector_a = np.array(point_a) - reference_point
    vector_b = np.array(point_b) - reference_point

    # ベクトルの大きさ(長さ)を計算
    magnitude_a = np.linalg.norm(vector_a)
    magnitude_b = np.linalg.norm(vector_b)

    # 内積を計算
    dot_product = np.dot(vector_a, vector_b)

    # 余弦を計算
    cosine = dot_product / (magnitude_a * magnitude_b)

    # 逆余弦関数を計算して角度を取得
    angle = np.arccos(cosine)

    # 弧度法指定ではない場合、角度を度数法に変換
    return angle if is_radian else np.degrees(angle)

get_angle関数は$3$点の座標から角度を求めます。

引数は次の$4$つです。

戻り値は角度です。

回転方向を求める

import numpy as np


def get_rotation_direction(from_point, to_point, reference_point):
    # 始点または終点が基準点と同じ場合、回転方向は定義しない
    if from_point == reference_point or to_point == reference_point:
        return 'undefined'

    # 始点と終点からベクトルを計算
    reference_point = np.array(reference_point)
    from_vector = np.array(from_point) - reference_point
    to_vector = np.array(to_point) - reference_point

    # 外積を計算
    cross_product = np.cross(from_vector, to_vector)

    # 外積の符号に応じて角度を調整
    return 'anti-clockwise' if cross_product >= 0 else 'clockwise'

get_rotation_direction関数は$3$点の座標から回転方向を求めます。

引数は次の$3$つです。

戻り値は文字列です。

$3$次元座標空間上の点には対応しておりませんのでご注意ください。

角度と回転方向を求める

def get_signed_angle(from_point, to_point, reference_point, is_radian=False):
    angle = get_angle(from_point, to_point, reference_point, is_radian)
    rotation_direction = get_rotation_direction(from_point, to_point, reference_point)

    return angle if rotation_direction == 'anti-clockwise' else -angle

get_signed_angle関数は角度と回転方向を求めます。

回転方向は、戻り値の符号で判断できます。

引数は次の$4$つです。

戻り値は角度です。

$3$次元座標空間上の点には対応しておりませんのでご注意ください。

プログラムの試験

角度を求める

$3$点の座標から角度を求めるget_angle関数のテストを行います。

 座標平面上の$3$点

ベクトル$\overrightarrow{a} = (1,\ \sqrt{3})$と$\overrightarrow{b}=(\sqrt{3},\ -3)$のなす角$\theta$を求めよ。

5分で解ける！ベクトルのなす角の計算に関する問題から抜粋

get_angle関数の下に、次のコード書いて実行します。

a = (1, np.sqrt(3))
b = (np.sqrt(3), -3)
o = (0, 0)

answer = get_angle(a, b, o)

print(answer)

実行結果です。

print(answer)
# 120.00000000000001

 座標空間上の$3$点

空間の$3$点$A(1,\ −2,\ 3)$, $B(3,\ −4,\ 2)$, $C(−3,\ 3,\ 0)$に対して，ベクトル$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AC}$のなす角を求めよ。

[05 福井県立大]

get_angle関数の下に、次のコード書いて実行します。

A = (1, -2, 3)
B = (3, -4, 2)
C = (-3, 3, 0)

answer = get_angle(B, C, A)

print(answer) 

実行結果です。

print(answer)
# 135.0

回転方向を求める

先ほどの問題を流用します。

ベクトル$\overrightarrow{a} = (1,\ \sqrt{3})$に対して$\overrightarrow{b} = (\sqrt{3},\ -3)$はどちら回りの回転か。

[5分で解ける！ベクトルのなす角の計算に関する問題 改題]

答え

get_rotation_direction関数の下に、次のコード書いて実行します。

a = (1, np.sqrt(3))
b = (np.sqrt(3), -3)
o = (0, 0)

answer = get_rotation_direction(a, b, o)

print(answer)

実行結果です。

print(answer)
# clockwise

角度と回転方向を求める

先ほどの問題を流用します。

ベクトル$\overrightarrow{a} = (1,\ \sqrt{3})$に対して$\overrightarrow{b} =(\sqrt{3},\ -3)$は反時計回りに何度回転しているか。

[5分で解ける！ベクトルのなす角の計算に関する問題 改題]

答え

get_signed_angle関数の下に、次のコード書いて実行します。

a = (1, np.sqrt(3))
b = (np.sqrt(3), -3)
o = (0, 0)

answer = get_rotation_direction(a, b, o)

print(answer)

実行結果です。

print(answer)
# -120.00000000000001

角度と回転方向が同時に求まりました。

プログラムの活用例

図形をマウスドラッグで回転させるプログラムです。

PythonのGUIライブラリであるTkinterで作りました。

複雑そうですが、仕組みはシンプルです。

マウスカーソルの位置が変化するたびに、次の$3$点から回転角度を求めています。

次に、求めた角度を元に図形の頂点を回転移動させるだけです。

>>任意点周りの回転移動を２通り解説！プログラムで自動化！

現在Tkinter搭載の関数では、図形を回転させることはできません。

しかし、今回ご紹介した点を回転させるプログラムを上手く使うと、このようにクルクル回すことが出来るのです。

Tkinterで図形を回転させるプログラムに関する記事は、近日中に公開します！

まとめ

今回は、$3$点の座標から角度と回転方向を求める方法について解説しました。

角度を求める方法は$2$通りありましたね。

上記いずれのやり方でも、余弦と逆余弦関数が重要でした。

また、回転方向は外積の$z$成分で判別します。

本記事でご紹介した内容は、特にゲーム制作で用いられる技術です。

自分でPCゲームを作る際には是非参考にしてくださいね。

最後までお付き合いいただき、ありがとうございました。