任意点周りの回転移動を２通り解説！プログラムで自動化！

この記事で解決できるお悩み

回転した座標を求める方法を知りたい！
座標の回転をプログラムで実装したい！

こんなお悩みを解決します。

この記事の内容

座標の回転を2通りの方法で解説
回転後の座標を求めるプログラムの実装
回転後の座標を求めるプログラムの活用

こんにちは、Youta(@youta_blog)です。

今回は「座標平面上での点の回転」「回転後の座標を出すプログラム」についてのお話です。

あなたは学生時代、以下のような問題を見たことはありますか？

\(xy\)平面上に点\(P(a, b)\)と点\(Q(c, d)\)がある。

点\(Q\)を中心に、点\(P\)を反時計回りに\(\theta\)回転させた点を\(P’\)とする。

ただし、\(PQ=P’Q\)である。

このとき、点\(P’\)の座標を求めよ。

[20 慶應義塾大薬学 7 改題]

解法を忘れてしまったり、そもそもどう解けばいいかわからない…という方が多いのではないでしょうか。

でもご安心ください！

本記事では、こうした問題に対処できる２通りのアプローチを解説します。

合わせて、コンピュータに自動で解かせるためのプログラムもご紹介します。

Contents

回転後の座標を導出する方法
- 三角関数を使うやり方
- 複素数平面を使うやり方
任意の点周りで座標を回転させるプログラムの実装
- 実装例
- テスト
  - 単一座標の回転
  - 複数座標の回転
任意の点周りで座標を回転させるプログラムの活用例
- アート制作
- 図形の回転
まとめ

回転後の座標を導出する方法

まず始めに冒頭の問題の答えを示します。

答え

\(x\)座標: \((a-c)\cos{\theta}-(b-d)\sin{\theta}+c\)

\(y\)座標: \((b-d)\cos{\theta}+(a-c)\sin{\theta}+d\)

すずか

意味わからん。

大丈夫です。こうなる理由を以下の2通りの方法で解説しますね。

先生

三角関数を使うやり方
複素数平面を使うやり方

三角関数を使うやり方

手順は簡単。たった3ステップです。

平行移動→\(R\)の座標計算
加法定理→\(S\)の座標計算
平行移動→\(P’\)の座標計算

1ステップずつ詳しく見ていきましょう。

平行移動→\(R\)の座標計算

まずは新しい変数を導入します。

最終的に消えてしまう変数ですので怖がらないでくださいね。

\(r\): 線分\(PQ\)の長さ
\(\phi\): 動径\(OR\)と\(x\)軸の正の向きとのなす角

線分\(PQ\)を、\(Q\)が原点\(O\)に重なるように平行移動させます。

原点が回転の中心となるようにするためです。

では、これから本題の\(P\)の移動先\(R\)の座標を考えましょう。

そもそも\(Q\)から原点\(O\)に行くためには、\(Q\)を\(x\)軸方向に\(-c\)、\(y\)軸方向に\(-d\)だけ平行移動すればよいですね。

ということは\(P\)から\(R\)に行くのも同様、\(P\)を\(x\)軸方向に\(-c\)、\(y\)軸方向に\(-d\)だけ平行移動すればよいです。

よって、\(R\)の座標が求まりました。

Rの座標(その1)

\(x\)座標: \(a-c\)

\(y\)座標: \(b-d\)

さらに角度\(\phi\)と動径\(OR\)に着目すると、三角関数の定義により\(R\)の座標は別の形でも表せます。

Rの座標(その2)

\(x\)座標: \(a-c=r\cos{\phi}\)

\(y\)座標: \(b-d=r\sin{\phi}\)

加法定理→\(S\)の座標計算

次は、\(R\)を原点を中心に角度\(\theta\)だけ回転させた点\(S\)の座標を求めます。

\(r=PQ=RO=SO\)であるので、先ほどと同様に三角関数の定義により\(S\)の座標は以下のようになります。

Sの座標

\(x\)座標: \(r\cos{(\phi+\theta)}\)

\(y\)座標: \(r\sin{(\phi+\theta)}\)

ここで三角関数の加法定理を使います。

三角関数の加法定理

\(\sin{(\alpha+\beta)}=\sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta}\)

\(\cos{(\alpha+\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}\)

上記の公式と先ほどの\(R\)の座標を考慮すると、\(S\)の座標が以下のように計算できます。

Sの座標

\(x\)座標: \begin{align*}
r\cos{(\phi+\theta)}&=r(\cos{\phi}\cos{\theta}-\sin{\phi}\sin{\theta}) \\
&=r\cos{\phi}\cos{\theta}-r\sin{\phi}\sin{\theta} \\
&=(a-c)\cos{\theta}-(b-d)\sin{\theta} \\
\end{align*}
\(y\)座標: \begin{align*}
r\sin{(\phi+\theta)}&=r(\sin{\phi}\cos{\theta}+\cos{\phi}\sin{\theta}) \\
&=r\sin{\phi}\cos{\theta}+r\cos{\phi}\sin{\theta} \\
&=(b-d)\cos{\theta}+(a-c)\sin{\theta} \\
\end{align*}

すずか

\(r\)と\(\phi\)が消えてスッキリした！

平行移動→\(P’\)の座標計算

最後に、\(S\)を平行移動して\(P’\)を求めましょう。

平行移動量はSTEP1の平行移動→\(R\)の座標計算のときと真逆です。

つまり、\(S\)を\(x\)軸方向に\(c\)、\(y\)軸方向に\(d\)だけ平行移動します。

P’の座標

\(x\)座標: \((a-c)\cos{\theta}-(b-d)\sin{\theta}+c\)

\(y\)座標: \((b-d)\cos{\theta}+(a-c)\sin{\theta}+d\)

大変でしたね…。

以上が、三角関数を使っての導出の流れです。

先ほどの答えと一致していればOKです！

複素数平面を使うやり方

こちらも手順は3ステップからなります。

2以外は三角関数のときとほとんど変わらないのでご安心ください。

平行移動→\(R\)の座標計算
回転移動→\(S\)の座標計算
平行移動→\(P’\)の座標計算

1ステップずつ詳しく見ていきます。

平行移動→\(R\)の座標計算

線分\(PQ\)を、\(Q\)が原点\(O\)に重なるように平行移動させます。

原点が回転の中心となるようにするためです。

では、これから本題の\(P\)の移動先である\(R\)の座標を考えましょう。

そもそも\(Q\)から原点\(O\)に行くためには、\(Q\)を実軸方向に\(-c\)、虚軸方向に\(-d\)だけ平行移動すればよいですね。

ということは\(P\)から\(R\)に行くのも同様、\(P\)を実軸方向に\(-c\)、虚軸方向に\(-d\)だけ平行移動すればよいです。

よって、点\(R\)が表す複素数が求まりました。

Rが表す複素数

実部: \(a-c\)

虚部: \(b-d\)

回転移動→\(S\)の座標計算

次は、\(R\)を原点を中心に角度\(\theta\)だけ回転させた点\(S\)の座標を求めます。

複素数平面に関して、以下の事実が成り立つことを利用します。

原点を中心とする回転

\(\alpha=\cos{\theta}+i\sin{\theta}\)と複素数\(z\)に対して、点\(\alpha z\)は、点\(z\)を原点を中心として\(\theta\)だけ回転した点である。

上記の事実と先ほどの\(R\)が表す複素数を考慮すると、\(S\)が表す複素数を以下のように計算できます。

Sが表す複素数

\(\alpha=\cos{\theta}+i\sin{\theta}\)とする。

点\(R\)が表す複素数を\(z\)とすると\(z=(a-c)+(b-d)i\)

よって、点\(S\)が表す複素数は

\begin{align*}
\alpha z&=(\cos{\theta}+i\sin{\theta})\{(a-c)+(b-d)i)\} \\
&=\cos{\theta}\{(a-c)+(b-d)i)\}+i\sin{\theta}\{(a-c)+(b-d)i)\} \\
&=(a-c)\cos{\theta}+(b-d)i\cos{\theta}+(a-c)i\sin{\theta}+(b-d)i^2\sin{\theta} \\
&=(a-c)\cos{\theta}+(b-d)i\cos{\theta}+(a-c)i\sin{\theta}-(b-d)\sin{\theta} \\
&=(a-c)\cos{\theta}-(b-d)\sin{\theta}+(b-d)i\cos{\theta}+(a-c)i\sin{\theta} \\
&=\{(a-c)\cos{\theta}-(b-d)\sin{\theta}\}+\{(b-d)\cos{\theta}+(a-c)\sin{\theta}\}i \\
\end{align*}
実部: \((a-c)\cos{\theta}-(b-d)\sin{\theta}\)
虚部: \((b-d)\cos{\theta}+(a-c)\sin{\theta}\)

平行移動→\(P’\)の座標計算

最後に、\(S\)を平行移動して\(P’\)を求めましょう。

平行移動量はSTEP1の平行移動→\(R\)の座標計算のときと真逆です。

つまり、\(S\)を実軸方向に\(c\)、虚軸方向に\(d\)だけ平行移動します。

P’が表す複素数

実部: \((a-c)\cos{\theta}-(b-d)\sin{\theta}+c\)

虚部: \((b-d)\cos{\theta}+(a-c)\sin{\theta}+d\)

複素数平面上の実軸と虚軸の値は、それぞれ\(xy\)平面上での\(x\)軸・\(y\)軸の値です。

よって、これで点\(xy\)平面上での\(P’\)の座標が求まりました。

以上が、複素数平面を使った導出の流れです。

どちらでも同じ答えが出るのが面白いですね！

すずか

当分はもう計算したくないよ…。

お疲れ様でした。

では、コンピューターにこの計算をお願いしましょうか。

先生

任意の点周りで座標を回転させるプログラムの実装

先ほどの理論を踏まえた上で、実際にプログラムを書いてみましょう。

以下に、指定した点を中心に座標を回転させる関数の実装例を示します。

実装例


import math


def rotate_point(point, center, angle, is_radian=False):
    # 点を中心周りに指定された角度分回転させる関数
    # point: 回転させる点の座標。一つ以上の座標を格納したタプル(リスト)。 (x, y) or (x1, y1, x2, y2, ...xn, yn)
    # center: 回転中心の座標 (x, y)
    # angle: 回転角度。デフォルトでは度数法。
    # is_radian: Trueの場合はangleを弧度法、Falseの場合は度数法で指定する。
    # 戻り値: 回転後の座標 (x, y) or (x1, y1, x2, y2, ...xn, yn)

    # 角度が度数法の場合は弧度法に変更
    if not is_radian:
        angle = math.radians(angle)

    sin_angle = math.sin(angle)
    cos_angle = math.cos(angle)

    # 回転した座標を格納するリスト
    rotated_points = []

    for i in range(0, len(point), 2):
        x, y = point[i] - center[0], point[i + 1] - center[1]

        # 回転後の座標を計算
        rotated_x = x * cos_angle - y * sin_angle + center[0]
        rotated_y = y * cos_angle + x * sin_angle + center[1]

        rotated_points.extend((rotated_x, rotated_y))

    return rotated_points

上記のコードでは、ある座標を中心周りに指定角度分回転させた座標を返す関数rotate_pointを定義しています。

引数

point: 回転させる座標。1つ以上の座標を格納したタプル(リスト)。
center: 回転中心の座標。
angle: 角度。デフォルトは度数法。
is_radian: Trueの場合はangleを弧度法、Falseの場合は度数法で指定。

戻り値

rotated_points: 回転後の座標を含む一次元リスト。

テスト

単一座標の回転

手始めに、慶應義塾大学の入試問題でも解かせましょう。

\(xy\)平面上に点\(P(9, 3)\)と点\(Q(3, 1)\)がある。

点\(Q\)を中心に、点\(P\)を反時計回りに\(15°\)回転させた点を\(P’\)とする。

ただし、\(PQ=P’Q\)である。

このとき、点\(P’\)の座標を求めると、\(x\)座標は□である。

[20 慶應義塾大薬学 7]

答え

\(x\)座標: \(\sqrt{6}+2\sqrt{2}+3\)

(\(y\)座標: \(2\sqrt{6}-\sqrt{2}+1\))

ちなみに冒頭の問題の元ですよ。

先生

先ほどのコードの下に、以下のテストを書いて実行します。

p = (9, 3)  # 回転させたい座標
q = (3, 1)  # 中心の座標
theta = 15  # 回転角度(度数法)

answer = rotate_point(p, q, theta)

print(answer)  # 結果出力
-->[8.277916867529369, 4.484765923193261]

すずか

何この数？合ってんの？

結果の正誤について、以下にまとめたので興味のある方はどうぞ！

先生

このプログラム正しいの？

座標

【\(x\)座標】

問題の答え: \(\sqrt{6}+2\sqrt{2}+3\)
電卓の結果: \(8.277916867529368\)
プログラム: \(8.277916867529369\)

【\(y\)座標】

問題の答え: \(2\sqrt{6}-\sqrt{2}+1\)
電卓の結果: \(4.484765923193261\)
プログラム: \(4.484765923193261\)

複数座標の回転

実は先ほどのプログラムは、複数の座標を一気に回転させることができます。

ということで、次は図形の回転問題です。

複素数平面上の3点\(A,\ B,\ C\)を表す複素数をそれぞれ

\begin{gather}
z_1=2+i,\ z_2=1,\ z_3=2i \\
\end{gather}

とするとき、以下の問に答えなさい。

(1) \(\triangle{ABC}\)の重心\(G\)を表す複素数\(g\)を求めなさい。

(2) 点\(A,\ B,\ C\)をそれぞれ点\(G\)を中心に\(\frac{\pi}{4}\)だけ回転した点を表す複素数\(w_1,\ w_2,\ w_3\)を求めなさい。

[22 福岡女子大環境科学 2]

答え

(1) \(g=1+i\)

(2) \(w_1=(1+\frac{\sqrt{2}}{2})+(1+\frac{\sqrt{2}}{2})i\)

\(\ \ \ \ \ w_2=(1+\frac{\sqrt{2}}{2})+(1-\frac{\sqrt{2}}{2})i\)

\(\ \ \ \ \ w_3=(1-\sqrt{2})+i\)

複素数が出てきますので、\(xy\)平面上の点に置換してテストをします。

先ほどのコードの下に、以下のテストを書いて実行します。

coords = (2, 1, 1, 0, 0, 2)  # 順にA, B, Cの座標 (A_x, A_y, B_x, B_y, C_x, C_y)
g = (1, 1)  # 三角形の重心
theta = math.pi / 4  # 回転角度(ラジアン)

answer = rotate_point(coords, g, theta, True)  # 角度がラジアンなので最後にTrueを入れる。

print(answer)  # 結果出力
-->[1.7071067811865475, 1.7071067811865475, 1.7071067811865475, 0.2928932188134524, -0.4142135623730949, 1.0]